"Vật lý hay Toán học đều "xoay quanh" vectơ. Nhưng 2 vectơ cùng phương khi nào thì bạn đã thực sự hiểu rõ?
Cùng chuyên gia giáo dục Lysander Minh Quang "nắm chắc" kiến thức này với những giải thích "siêu dễ hiểu", ví dụ minh họa sinh động và "bí kíp" giải mọi dạng bài nhé!
Xin chào các bạn học sinh thân mến! Mình là Lysander Minh Quang, một chuyên gia trong lĩnh vực giảng dạy với nhiều năm kinh nghiệm đồng hành cùng các em học sinh. Hôm nay, mình rất vui khi được chia sẻ với các bạn về một khái niệm quan trọng trong toán học: Vectơ cùng phương.
I. Hai vectơ cùng phương là gì?
Vectơ là một đại lượng có hướng và độ lớn, được biểu diễn bằng một mũi tên. Vectơ được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, từ toán học, vật lý đến khoa học máy tính. Vậy hai vectơ được gọi là cùng phương khi nào? Chúng có những tính chất gì đặc biệt và được ứng dụng như thế nào trong giải các bài toán?
II. Vectơ cùng phương - "Nắm chắc" lý thuyết, "vững tay" giải bài
1. Định nghĩa
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
-
Giá của vectơ: Là đường thẳng chứa vectơ đó.
2. Ví dụ minh họa
-
Trong mặt phẳng: Hai vectơ (\vec{a}) và (\vec{b}) trên hình vẽ sau đây là cùng phương vì giá của chúng song song với nhau.
-
Trong không gian: Hai vectơ (\vec{u}) và (\vec{v}) có giá lần lượt là hai đường thẳng a và b. Nếu a // b hoặc a trùng b thì (\vec{u}) và (\vec{v}) cùng phương.
III. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
1. Điều kiện cần và đủ
Hai vectơ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia.
-
Nếu (\vec{a}) và (\vec{b}) cùng phương thì tồn tại số k sao cho (\vec{a} = k\vec{b}) hoặc (\vec{b} = k\vec{a}).
-
Ngược lại, nếu (\vec{a} = k\vec{b}) hoặc (\vec{b} = k\vec{a}) thì (\vec{a}) và (\vec{b}) cùng phương.
2. Biểu diễn qua tọa độ
-
Trong mặt phẳng Oxy: Nếu hai vectơ (\vec{u} = (x_1; y_1)) và (\vec{v} = (x_2; y_2)) cùng phương thì (\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}) (với (x_2, y_2 \neq 0)).
-
Trong không gian Oxyz: Nếu hai vectơ (\vec{u} = (x_1; y_1; z_1)) và (\vec{v} = (x_2; y_2; z_2)) cùng phương thì (\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}) (với (x_2, y_2, z_2 \neq 0)).
IV. Chứng minh hai vectơ cùng phương
1. Cách 1: Chứng minh giá của hai vectơ song song hoặc trùng nhau
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh (\overrightarrow{AB}) và (\overrightarrow{DC}) cùng phương.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Mà (\overrightarrow{AB}) có giá là đường thẳng AB, (\overrightarrow{DC}) có giá là đường thẳng CD nên (\overrightarrow{AB}) và (\overrightarrow{DC}) cùng phương.
2. Cách 2: Tìm một số thực k sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia
Ví dụ: Cho (\vec{a} = (2; 3)) và (\vec{b} = (-4; -6)), chứng minh (\vec{a}) và (\vec{b}) cùng phương.
Lời giải:
Ta có (\vec{b} = (-4; -6) = -2(2; 3) = -2\vec{a}). Vậy (\vec{a}) và (\vec{b}) cùng phương.
V. Các dạng bài toán về vectơ cùng phương
Để nắm chắc kiến thức về vectơ cùng phương, chúng ta cùng luyện tập qua một số dạng bài tập thường gặp nhé!
1. Dạng 1: Xác định hai vectơ cho trước có cùng phương hay không
Để xác định hai vectơ có cùng phương hay không, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
-
Cách 1: Xét xem giá của hai vectơ có song song hoặc trùng nhau hay không. Nếu có thì hai vectơ cùng phương.
-
Cách 2: Kiểm tra xem có tồn tại một số thực k sao cho vectơ này bằng k lần vectơ kia hay không. Nếu có thì hai vectơ cùng phương.
2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hai vectơ cùng phương
Dạng bài này thường cho hai vectơ có chứa tham số, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để hai vectơ cùng phương. Ta sử dụng điều kiện ở phần III để giải các bài toán này.
Ví dụ: Cho (\vec{u} = (m+1; 2)) và (\vec{v} = (3; m-2)), tìm m để (\vec{u}) và (\vec{v}) cùng phương.
Lời giải:
Để (\vec{u}) và (\vec{v}) cùng phương thì (\frac{m+1}{3} = \frac{2}{m-2}) (với (m \neq 2)).
Giải phương trình này, ta được (m = 4) hoặc (m = -2).
3. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chỉ cần chứng minh hai vectơ (\overrightarrow{AB}) và (\overrightarrow{AC}) (hoặc hai vectơ bất kỳ nào khác được tạo thành từ ba điểm này) cùng phương.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AD. Chứng minh B, E, C thẳng hàng.
Lời giải:
Ta có: (\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC})
Vậy (\overrightarrow{BE}) và (\overrightarrow{BC}) cùng phương, suy ra B, E, C thẳng hàng.
VI. Phân biệt vectơ cùng phương và vectơ cùng hướng
Hai vectơ cùng phương chưa chắc đã cùng hướng. Để hai vectơ cùng hướng, chúng phải vừa cùng phương, vừa cùng chiều.
-
Vectơ cùng phương: Giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
-
Vectơ cùng hướng: Vừa cùng phương, vừa cùng chiều.
VII. Câu hỏi thường gặp
-
2 vectơ cùng phương khi nào - tọa độ?
-
Hai vectơ cùng hướng trong Oxyz?
-
Cùng phương là gì?
-
2 vectơ song song khi nào?
-
2 vectơ song song trong Oxyz?
-
Giá của vectơ là gì?
-
Tích vô hướng 2 vectơ?
-
2 vectơ bằng nhau?
VIII. Kết luận
Vectơ cùng phương là một khái niệm cơ bản nhưng quan trọng trong toán học. Hiểu rõ về vectơ cùng phương sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số một cách hiệu quả.
Chúc các bạn học tập tốt và "chinh phục" mọi bài toán về vectơ